Berekenen van verbruik en vermogen

Gepost door L Breevoort 
Naar aanleiding van een topic op de voorpagina, waarin de discussie ging over hoeveel energie het kost om op trekken, heb ik eens een oude spreadsheet tevoorschijn gehaald waarin ik allerlei benodigde formules had uitgewerkt. Het doel van de sheet was om bij elke willekeurige snelheid het actuele verbruik en gevraagde vermogen te kunnen berekenen. Omdat er wat interesse voor was, hier de wiskunde.

Aan de belastingskant

Allereerst gaan we kijken welke weerstanden er allemaal overwonnen moeten worden. Die kosten natuurlijk allemaal energie en dat willen we berekenen. Er zijn verschillende factoren, hier volgen de belangrijkste.

Voor optrekken en afremmen geldt:

W_kin = 0,5 * m * (v_eind^2 – v_begin^2)

W_kin [J] = arbeid benodigd om een verschil in kinetische energie te bewerkstelligen
m [kg] = massa van de auto
v_eind [m/s] = eindsnelheid
v_begin [m/s] = beginsnelheid

Voor het op- of afrijden van een helling geldt:

W_pot = m * g * (h_eind – h_begin)

W_pot [J] = arbeid benodigd om een verschil in potentiele energie te bewerkstelligen
g [m/s^2] = gravitatieconstante
h_eind [m] = hoogte aan het eind
h_begin [m] = hoogte aan het begin

Voor de rolweerstand van de banden op het wegdek geldt:

W_rol = F_rol * x = m * g * cR * x

W_pot [J] = arbeid benodigd om de rolweerstand te overwinnen
F_rol [N] = rolweerstandskracht
x [m] = afgelegde afstand
cR [-] = rolweerstandscoefficient van de banden

Voor de luchtweerstand van de auto geldt:

W_air = F_air * x = 0,5 * rho * v^2 * cW * A * x

W_air [J] = arbeid benodigd om de luchtweerstand te overwinnen
F_air [N] = luchtweerstandskracht
rho [kg/m^3] = luchtdichtheid
v [m/s] = gereden snelheid
cW [-] = luchtweerstandscoefficient
A [m^2] = frontaal oppervlak van de auto

De totale benodigde arbeid om een stukje te rijden wordt dan:

W_totaal = W_kin + W_pot + W_rol + W_air

W_kin geldt voor optrekken en remmen en is 0 voor het rijden met constante snelheid. W_pot zie je hier voor het laatst, die negeer ik vanaf nu. Alles speelt zich dus af op een vlakke weg.
Overigens zijn dit niet de enige factoren. Je kan ook nog bijvoorbeeld de invloed van de wind proberen te modelleren. Of de temperatuur. En ga zo maar door. Dat gaat voor hier te ver.

Je zou nu een rit kunnen bedenken en uitrekenen hoeveel arbeid ervoor nodig is om die rit te maken. De aller eenvoudigste vorm is zo (mijn woon-werk ritje):
Sector 1: bebouwde kom, lengte 3 km, snelheid 50 km/u
Sector 2: snelweg, lengte 20 km, snelheid 100 km/u
Sector 3: provinciale weg, lengte 13 km, snelheid 80 km/u
Sector 4: bebouwde kom, lengte 4 km, snelheid 50 km/u
Totaal: lengte 40 km

Ook dit kan je zo gek maken als je wil. In sector 1 zitten bijvoorbeeld een 30 zone, rotonde en twee stoplichten. Daarvoor moet je steeds afremmen of stoppen en je zou je sector kunnen onderverdelen:
Sector 1A – 30 m – optrekken 0-30 km/u
Sector 1B – 450 m – constant 30 km/u
Sector 1C – 50 m - optrekken van 30 naar 50 km/u
Sector 1D – 600 m – constant 50 km/u
Sector 1E – 150 m – afremmen 50 naar 0 km/u (stoplicht)
Sector 1F – 70 m – optrekken 0 naar 50 km/u
Etc.

En zelfs dit is nog simpel. Je kan bijvoorbeeld ook vastleggen of er bochten zijn. Daar moet je natuurlijk ook voor remmen en bovendien kunnen zowel de cR-waarde als de cW-waarde in een bocht anders zijn dan op een rechte weg. Modellen van autofabrikanten werken soms daadwerkelijk met zulke gevoeligheden, maar wij gaan dat natuurlijk niet doen.

Als nu voor elke sector de arbeid uitrekent en die dan allemaal bij elkaar optelt, dan heb je de totale benodigde arbeid voor de hele rit.

Het benodigde vermogen om een bepaalde constante snelheid te rijden, kunnen we met dezelfde formules bepalen. De snelheid is constant, dus W_kin = 0 en we hebben alleen W_rol en W_air over.

Pvc = Wvc_totaal / t

Pvc [W] = vermogen benodigd om met constante snelheid vc te rijden
t [sec] = tijd

Met Wvc_totaal = Wvc_rol + Wvc_air = Fvc_rol * x + Fvc_air * x

Pvc = (Fvc_rol + Fvc_air) * x / t

Met x = vc * t

Pvc = (Fvc_rol + Fvc_air) * vc

Aan de motorkant

We hebben net uitgerekend hoeveel arbeid er nodig is om een bepaalde rit te maken of snelheid te rijden, maar dat is nog niet gelijk aan de hoeveelheid energie die we moeten leveren. In de auto zit namelijk een energie in een reservoir (tank, accu), die ondergaat een transitie (zodat er een as gaat draaien) en wordt dan via een mechanisch systeem naar de wielen geleid. Je weet al dat de energie in het reservoir niet volledig het wiel bereikt. De motor wordt bijvoorbeeld warm door de energietransitie en die warmte komt ook het reservoir: er vinden dus verliezen plaats. Deze verliezen zijn heel moeilijk vast te stellen als je niet een engineer op de R&D afdeling van een autofabrikant bent, dus zullen we het moeten doen met een benadering.

Eerst de relatief makkelijke, de BEV. Energie zit in de accu, gaat via de omvormer naar de elektromotor en van daar via een vaste overbrenging naar de wielen. Zowel de elektromotor als omvormer hebben een rendement dat afhankelijk is van allerlei factoren, maar gelukkig is de bandbreedte beperkt. Dat betekent dat het rendement van de auto niet veel anders is als je 30 door een woonerf tuft, dan als je met 160 tegen een steile helling op de autobahn opvliegt. Zullen we zeggen een rendement van 85%?

Bij een benzineauto is het een veel lastiger verhaal. De motor heeft al een veel grotere spreiding in rendement dan de elektromotor en dan heb je ook nog eens een heel aantal versnellingen. De beste motoren halen een rendement van 40%, maar dat is een enkel, nauw gedefinieerd werkpunt. Kom je daarbuiten, dan kan het zomaar een stuk minder dan de helft zijn. Welk getal je ook kiest, je hebt meer kans om er ver naast te zitten dan bij de BEV. Laten we het voor de benzineauto maar op een rendement van 20% houden.

Voor het te leveren motorvermogen geldt een soortgelijk verhaal. Ook daar gaat er iets motorvermogen verloren over de diverse tandwielen etc. Echter het rendement van dergelijke overbrengingen is doorgaans 95% of meer, dus in dit verhaal negeer ik het verder.

Het uiteindelijke sommetje

Nu willen we het verbruik eindelijk eens weten. De schatting daarvan is geworden:

VB_totaal = W_totaal / r
VB_totaal_gem = W_totaal / (r * x_totaal)

VB_totaal [J] = totaal verbruik van de rit
VB_totaal_gem [J/km] = gemiddelde verbruik van de rit
r [-] = rendement weergegeven als decimaal (dus 25% is 0,25)
x_totaal [km] = totale lengte van de rit

Je krijgt een antwoord in Joule. Voor de BEV is de omrekening naar de gebruikelijke kWh eenvoudig: VB_totaal / 3.600 geeft het totale verbruik in Wh
VB_totaal / 3.600.000 geeft het totale verbruik in kWh
VB_totaal_gem / 3.600 geeft het gemiddelde verbruik in Wh/km
VB_totaal_gem / 36.000 geeft het gemiddelde verbruik in kWh/100km

Voor benzine geldt dat 1 liter gelijk staat aan 9 kWh of 32,4 MJ.
VB_totaal / 32.400.000 geeft het totale verbruik in liter
VB_totaal_gem / 324.000 geeft het gemiddelde verbruik in liter/100km

Voor het actuele gebruik bij een constante snelheid gebruiken we eerder genoemde formule voor het vermogen. Inclusief de omrekeningsfactoren naar kWh en liter geeft dat:

Stroom: VBvc_actueel = 0,0278 * Pvc / (r * vc)
VBvc_actueel is dan in kWh/100km

Benzine: VBvc_actueel = 0,0031 * Pvc / (r * vc)
VBvc_actueel is dan in liter/100km

Merk overigens op dat geldt: Pvc / vc = Fvc_rol + Fvc_air

Eindelijk een voorbeeld

Laten we eens kijken waar dit toe leidt meteen voorbeeld.

Eerst moeten we een auto kiezen en de daaraan verbonden variabelen vaststellen. Het gaat daarbij om m, cR, cW en A. Behalve cR zijn die factoren in ieder geval bij benadering voor de meeste auto's wel te achterhalen. cR (rolweerstand van de banden) is wat lastiger, want bandenfabrikanten geven die waarde nooit op. Onafhankelijke metingen geven aan dat cR kan varieren van 0,006 tot 0,035 bij personenwagenbanden. Ik kies meestal 0,01 om mee te beginnen.
Goed een willekeurig lijstje:
m = 1.500 kg
cR = 0,01
cW = 0,3
A = 2,5 m^2

Laten we mijn woon-werk ritje rijden, ter herinnering:
Sector 1: bebouwde kom, lengte 3 km, snelheid 50 km/u
Sector 2: snelweg, lengte 20 km, snelheid 100 km/u
Sector 3: provinciale weg, lengte 13 km, snelheid 80 km/u
Sector 4: bebouwde kom, lengte 4 km, snelheid 50 km/u
Totaal: lengte 40 km

Ik doe de meest uitgeklede versie, dus ik negeer optrekken en afremmen en reken dus met constante snelheden in alle sectoren. Alles is vlak, dus we houden alleen rol- en luchtweerstand over. Voor sector 1 zien de sommetjes er dan zo uit:

W_rol1 = m * g * cR * x

g = 9,8 m/s
x = 3.000 m

W_rol = 1.500 * 9,8 * 0,01 * 3.000 = 441.000 J

W_air = 0,5 * rho * v^2 * cW * A * x

rho = 1,2 kg/m^3
v = 50 km/u = 13,9 m/s

W_air1 = 0,5 * 1,2 * 13,9 ^2 * 0,3 * 2,5 * 3.000 = 260.834 J

Voor de overige sectoren:
W_rol2 = 2.940.000 J
W_air2 = 6.955.560 J
W_rol3 = 1.911.000 J
W_air3 = 2.883.114 J
W_rol4 = 588.000 J
W_air4 = 347.778 J

Alles bij elkaar:
W_totaal = 16.327.286 J

Als deze auto een BEV is met een rendement van 85% dan wordt het totale en gemiddelde verbruik:

VB_totaal = W_totaal / (r * 3.600.000) in kWh
VB_totaal_gem = W_totaal/ (r * x_totaal * 36.000) in kWh/100km

VB_totaal = 5,3 kWh
VB_totaal_gem = 13,3 kWh/100km

Als deze auto een benzine is met een rendement van 20% dan wordt het totale en gemiddelde verbruik:

VB_totaal = W_totaal / (r * 32.400.000) in liter
VB_totaal_gem = W_totaal / (r * x_totaal * 324.000) in liter/100km

VB_totaal = 2,5 liter
VB_totaal_gem = 6,3 l/100km

Laten we ook het vermogen en verbruik uitrekenen voor deze auto bij 100 km/u en 130 km/u.

De formule voor het benodigde vermogen is: Pvc = (Fvc_rol + Fvc_air) * vc
Fvc_rol = m * g * cR
Fvc_air = 0,5 * rho * vc^2 * cW * A

Oftewel:
P100 = 13.755 W ( = 18,7 pk)
P130 = 26.477 W ( = 36,0 pk)

En de bijbehorende verbruiken:

BEV: VBvc_actueel = 0,0278 * Pvc / (r * vc)
VB100 = 16,2 kWh/100km
VB130 = 24,0 kWh/100km

Benzine: VBvc_actueel = 0,0031 * Pvc / (r * vc)
VB100 = 7,7 liter/100km
VB130 = 11,4 liter/100km

Tot slot

Als je alle formules netjes in een Excel sheet verwerkt, kan je eenvoudig een tabel maken die het verbruik van jouw auto bij een bepaalde snelheid kan voorspellen. Als je dan vervolgens een paar metingen doet met je verbruiksmeter (uiteraard op een vlakke weg en in twee richtingen om de invloed van wind te verminderen), dan kan je vervolgens zien hoe nauwkeurig de sheet is. Als die veel afwijkt, kan je spelen met de waarden als rendement, rolweerstand, etc, net zolang tot praktijk en theorie overeenkomen. Vervolgens kan je ritprofielen samenstellen (net zo ingewikkeld als je zelf wil) en behoorlijk nauwkeurig voorspellen hoeveel brandstof/stroom je nodig hebt voor een bepaalde route.
Poeh.... da's voor mij bijna 40 jaar terug de schoolbanken in, is niet mijn sterkste periode geweest.
Ik houd gemakshalve het vermogen wel op "voldoende" en het verbruik op "enigszins acceptabel", ik weet wel zeker dat al die berekeningen mij veel meer energie gaan kosten als een tankbeurt.grinning smiley
Feest van herkenning! Uit deze berekeningen blijkt al dat het nogal wat uitmaakt als de luchtweerstand (Cw) iets hoger of lager is, het oppervlak A iets groter is door bredere banden, het totale rendement een paar % hoger of lager is. Mooi stuk Breevoort!
Quote
Muddy Bandit
Poeh.... da's voor mij bijna 40 jaar terug de schoolbanken in, is niet mijn sterkste periode geweest.
Ik houd gemakshalve het vermogen wel op "voldoende" en het verbruik op "enigszins acceptabel", ik weet wel zeker dat al die berekeningen mij veel meer energie gaan kosten als een tankbeurt.grinning smiley

grinning smiley

Wel mooie berekeningen en (als natuurkunde docent) gaaf om te zien.
Maar wat doe je er vervolgens mee?
Zeepbellen en fantasieverhalen opblazen. Als je de theoretische kennis niet bezit kan je auto op een rollenbank in enen 20 pk meer leveren.... en is veel zuiniger dan die van de buurman.
Quote
Pietzoveel
Uit deze berekeningen blijkt al dat het nogal wat uitmaakt als de luchtweerstand (Cw) iets hoger of lager is, het oppervlak A iets groter is door bredere banden, het totale rendement een paar % hoger of lager is.
Inderdaad. Als je er een handige sheet van maakt, kan je er best opmerkelijke dingen uithalen. Of inzicht krijgen hoe je zuiniger kunt rijden.

Wat ik misschien niet heel duidelijk heb gemaakt, is dat de formules als gepresenteerd vooral goed werken voor een BEV. Dat zit 'em in het rendement aan de motorkant. Voor een BEV is dat min of meer constant over de hele vermogenscurve en daardoor krijg een relatief kloppend geheel door met 1 cijfertje voor het hele rendement te werken.

Voor benzineauto's is dit een stuk lastiger. Eigenlijk zou je het rendement afhankelijk moeten maken van de snelheid en gekozen versnelling om een realistisch beeld te krijgen. Bijvoorbeeld 50 km/u in de 1e versnelling heeft een compleet ander totaalrendement dan 50 km/u in de 4e versnelling. Deze gegevens zijn echter niet vaak beschikbaar en als ze het wel zijn, dan maken ze de formules wel een stuk gecompliceerder. Ik ben benieuwd of iemand daar een handige oplossing voor heeft.
Het befaamde "ei" diagram... het specifieke verbruik per Kw bij een bepaalde belasting. Soms kan je die na veel digitaal zoekwerk nog wel eens terugvinden. Veelal niet.. :-(
Maar met een koppelkromme kom je al een heel eind!
Sorry, alleen geregistreerde gebruikers met een forumprofiel mogen berichtenplaatsen. Nog geen forumprofiel? Maak die dan hier aan.